[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Dla badania takich globalnych zagadnieÅ„wprowadza siÄ™ wiele zaawansowanych rozdziałów współczesnej geometrii, jednakże rozwijana przez matematykówtechnika nie jest szerzej znana fizykom.2.PotencjaÅ‚y cechowania i pola.Na poczÄ…tku podamy pewne wiadomoÅ›ci z klasycznej teorii pola  tak jak rozumiejÄ… je fizycy, a nastÄ™pnie podamy ichgeometrycznÄ… interpretacje.Rozpoczniemy od tego, że ustalimy pewnÄ… zwartÄ… grupÄ™ Liego G.Zazwyczaj jest to SU(2) lubSU(3), nie wykluczamy również grupy U(1).Rozpatrzmy algebrÄ™ Liego L(G) grupy G.Dla SU(2) skÅ‚ada siÄ™ ona z skoÅ›niehermitowskich n ×n macierzy o zerowym Å›ladzie.PotencjaÅ‚ cechowania  jest to zbiór funkcji Aµ(x) o wartoÅ›ciach wL(G), gdzie x = ( x1 ,., x4 )  jest punktem w przestrzeni Euklidesa lub Minkowskiego,µ = 1,., 4  indeks przestrzenny.Wraz z tym potencjaÅ‚em rozpatrzmy operator :"µ = "µ + Aµgdzie "µ = "/"xµOperator ten dziaÅ‚a na funkcje wektorowÄ… ( f1(x) ,.fm(x)), jeÅ›li zadano pewnÄ… m-wymiarowÄ… reprezentacje grupy G.PrzykÅ‚adowo, dla G = SU(2) można wziąć m = n i wykorzystać reprezentacje standardowÄ…ObliczajÄ…c komutator operatorów "µ i "½ otrzymujemy pole cechowania Fµ½ zadane przez zależność :Fµ½ = [ "µ , "½ ] = "µ A½ - "½ Aµ + [ Aµ , A½ ]Gdzie [ "µ , "½ ]  jest komutatorem w algebrze Liego grupy G.Ważne jest zauważyć, ze dla nieabelowej grupy G taki komutator nie jest równy zero i dlatego funkcja F jest nieliniowapo A.W przypadku G = U(1), skÅ‚adowa taka nie wystÄ™puje i otrzymujemy standardowy liniowy zwiÄ…zek miÄ™dzy polem ipotencjaÅ‚em wektorowym, charakterystyczny dla teorii Maxwella.Standardowa niejednoznaczność potencjaÅ‚u znajduje swój wyraz w przypadku ogólnym w postaci przeksztaÅ‚ceÅ„cechowania.Zgodnie z definicjÄ… przeksztaÅ‚cenie cechowania jest to funkcja g(x), przyjmujÄ…ca wartoÅ›ci w grupie G iprzeksztaÅ‚cajÄ…ca potencjaÅ‚ Aµ zgodnie ze wzorem :Aµ ’! g-1 Aµ g + g-1 "µ gCo odpowiada przejÅ›ciu od "µ do g-1"½g ( rozpatrujemy tutaj G jako grupÄ™ macierzy, tak, że "µg  jest macierzÄ… zÅ‚ożonaz pochodnych ).Pole cechowania Fµ½ przeksztaÅ‚ca siÄ™ wtedy nastÄ™pujÄ…co :Fµ½ ’! g-1 Fµ½ gWażna obserwacja polega na tym, że wielkoÅ›ci Aµ przeksztaÅ‚cajÄ… siÄ™ niejednorodnie, podczas gdy wielkoÅ›ci Fµ½przeksztaÅ‚cajÄ… siÄ™ jednorodnie.Innymi sÅ‚owy Fµ½ - jest obiektem typu tensorowego, a Aµ - obiektem typu afinicznego( nie wyróżniajÄ…cym zera )Geometrycznie lub mechanicznie możemy to interpretować nastÄ™pujÄ…co.Wyobraz
my sobie cząstkę o pewnej strukturze tj.cząstkę znajdującą się w punkcie x przestrzeni R4 posiadającą strukturę wewnętrzną lub pewien zbiór stanów numerowanyprzez elementy g grupy G.Rozpatrzmy teraz pełną przestrzeń P wszystkich stanów takiej cząstki.Mówiąc ogólnie, wyobrażamy sobie przestrzeniewewnętrzne Gx i Gy dla x `" y, jako nie tożsame i dlatego przestrzeń P przybiera obraz  włókien.Jednakże w przypadku niewystępowania jakiegoś pola zewnętrznego przyjmujemy, że wszytskie przestrzenieGx można utożsamić między sobą, tak że w dopełnieniu do linii pionowych lub włókien, możemy narysować jeszcze liniehoryzontalne ( nazywane przekrojami ), otrzymując standardowa siatkę kartezjańską :Teraz wyobraz
my sobie, że nałożono pewne pole zewnętrzne, którego działanie narusza wzajemne ułożenie włókien, tak żestaje się nie możliwe poprzednie utożsamienie przestrzeni Gx w różnych punktach.Jednakże zakładamy, przy tym ,żeprzestrzenie Gx i Gy cały czas możemy utożsamić, jeśli wybierzemy pewną określona drogę w R z punktu x do punktu y.W języku bardziej fizycznym, wyobrażamy sobie, że cząstka porusza się z punktu x do punktu y i przemieszczamy jejprzestrzeń wewnętrzną razem z nią.W przestrzeni Minkowskiego taki ruch następowałby wzdłuż linii świata cząstki.Takieutożsamienie włókien wzdłuż dróg nazywa się  przeniesieniem równoległym.Jeśli teraz mamy dwie różne drogi, łączącepunkty x i y, to nie ma żadnych podstaw przyjmować, że odpowiadające im przeniesienia równoległe pokrywają się.Zakładamy, że różnią się one o pewien czynnik należący do grupy  czynnik ten należy rozpatrywać jako uogólnione przesunięcie fazy.Takie przesuniecie interpretowane jest jako wynik działania pola zewnętrznego.W językugeometrycznym rozpatrujemy go jako  krzywiznę lub zakrzywienie rozwłóknienia nad obszarem, ograniczonym takimidwiema drogami.Przechodząc do nieskończenie małych w stylu newtonowskim, otrzymamy infinitezymalne przeniesienie równoległe wpunkcie x w danym kierunku.Takie infinitezymalne przesunięcie A włókna Gx w włókno sąsiednie nazywa się koneksją.Infinitezymalna krzywizna F zależy od pary kierunków w punkcie x i przyjmuje wartości w algebrze Liego grupy Gx tj.jest infinitezymalnym  przesunięciem fazy.Tak jak zwykle infinitezymalny obraz tj.koneksje, można scałkować,otrzymując obraz globalny przeniesienia równoległego wzdłuż krzywych  takie dwa punkty widzenia są matematycznierównoważne [ Pobierz całość w formacie PDF ]