Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.25; P (X = 0|� = �2) = 0.75Zmienna losowa może być obserwowana n krotnie.Niech P {� = �1} = p = 1 - P {� =�2} (0 d" p d" 1).Określić bayesowską regułę decyzyjną na podstawie obserwacjiX1,., Xn i naszkicować jej ryzyko jako funkcję prawdopodobieństwa p.Zakładając,że koszt każdej obserwacji wynosi c wyznaczyć optymalną wielkość n.Wyznaczyćoptymalną wielkość próby, gdy koszt obserwacji o wartości 1 wynosi c1, zaś kosztobserwacji o wartości 0 wynosi 0.24.6.Niech X1, X2,., Xn będzie próbką losową z rozkładu N(�, �2) o nieznanych� i �2 i niech rozkład a priori tych parametrów będzie taki, że � i log � są niezależne,a brzegowy rozkład każdej z tych wielkości jest jednostajny.Pokazać, że estymatorem�bayesowskim parametru � przy kwadratowej funkcji strat L(�, �) = (� - �)2 jest X.� �Ile wynosi ryzyko bayesowskie tego estymatora?24.7.Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie N(�, 1) i niech strata spowodowana�szacowaniem � za pomocą �(X) ma postać� �a{�(X) - �}, gdy �(X) e" �,� �b{� - �(X)}, gdy �(X) 0 oraz b > 0.Pokazać, że ryzyko estymatora �k postaci��k(X) = X - kwyraża się wzorem(a + b){�(k) + k�(k)} - ka,gdzie � i � są odpowiednio gęstością i dystrybuantą rozkładu N(0, 1).Następnie po-�kazać, że w klasie {�k : k rzeczywiste} istnieje estymator o jednostajnie minimalnymryzyku i że to minimalne ryzyko jest równe[ ( )]a(a + b)� �-1.a + b24.8.Bochenek chleba musi ważyć co najmniej w gramów.W pewnej piekarni ciężarchleba w dużym wypieku jest zmienną losową o rozkładzie N(�, 1/�).Parametr �jest wielkością regulowaną, natomiast � zmienia się od wypieku do wypieku wedługrozkładu chi kwadrat o � stopniach swobody.Koszt produkcji bochenka chleba, gdyśredni ciężar jest równy � wynosi k + l�, a cena zbytu bochenka o prawidłowymciężarze jest równa m.Bochenki o zbyt małym ciężarze nie przynoszą zysku.Pokazać,że średni zysk na bochenku, gdy wypiek ustawiony jest na wielkość �, wynosi"m�{(� - w) n} - (k + l�),gdzie � jest rozkładem t o � stopniach swobody.Wyznaczyć na tej podstawie najlep-szą wartość �.24.9.W procesie mierzenia zawartości RNA w pewnych komórkach pojawia się trud-ność związana z tym, że dwie komórki mogą znajdować się tak blisko siebie, iż stająsię nierozróżnialne.Wykonuje się dwa niezależne pomiary X1 i X2, przy czym każdyz nich może odnosić się do jednej lub dwóch (niezależnych) komórek.Należy zdecy-dować, czy dana para pomiarów dotyczy dwóch pojedynczych komórek, jednej poje-dynczej komórki i jednej pary, czy też dwóch par komórek.Przypuśćmy, iż wiadomo, że zawartość pojedynczej komórki, mierzona w odpowied-nich jednostkach, ma rozkład o gęstości xe-x (x e" 0) i że prawdopodobieństwo apriori tego, że pomiar dotyczy dwóch komórek zamiast jednej wynosi �.Przypuśćmyrównież, że strata jest równa zeru, gdy decyzja jest prawidłowa i jest równa jedności,gdy decyzja jest błędna.Naszkicować na płaszczyznie (x1, x2) rozwiązanie bayesow-skie tego zagadnienia.24.10.Niech X1, X2,., Xn będą kolejnymi pomiarami intensywności sygnału ra-diowego rejestrowanymi za pomocą pewnego odbiornika.Jeżeli był nadawany pewiensygnał, to wynik pomiaru ma postać Xj = aj + �j, gdzie a1, a2,., an są znane, alosowe zakłócenia �1, �2,., �n są realizacją wielowymiarowej zmiennej losowej o roz-kładzie normalnym ze średnią równą zeru i z macierzą kowariancji V.Jeżeli sygnałnie był nadawany, to Xj = �j (j = 1, 2,., n).Należy zdecydować, czy sygnał zostałcCopyright � Stanisław Jaworski & Wojciech ZielińskiWersja 17/5/2012 Podejmowanie decyzji statystycznych 159rzeczywiście nadany.Prawdopodobieństwo a priori tego zdarzenia wynosi p.Stratyzwiązane z nieprawidłowym orzeczeniem, że sygnał został lub nie został nadany, sąrówne odpowiednio L - 1 i L2.Wyznaczyć regułę decyzyjną realizującą minimumoczekiwanych strat.Przypuśćmy, że decyzję podejmuje się zgodnie z tą optymalną regułą i że pL2 =(1 - p)L1.Jak wygląda optymalny ciąg {ai} sygnałów, jeżeli analiza mocy transmisji"prowadzi do ograniczenia a2 = 1?i24.11.W celu podjęcia decyzji, którą z dwóch odmian pszenicy wprowadzić do maso-wej produkcji, wykonuje się eksperyment polegający na tym, że każdą z odmian badasię na n poletkach doświadczalnych.Obserwowane plony Xij (i = 1, 2, j = 1, 2,., n)są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnimi �i i warian-cją �2, przy czym rozkład a priori parametru (�1, �2) jest taki, że �1 i �2 są niezależnei mają rozkłady brzegowe normalne o średnich równych odpowiednio �1 i �2 i wa-2riancji �0.Wyznaczyć rozkład a posteriori (�1, �2) przy założeniu, że wariancja �2jest znana.Pokazać, że gdy funkcje strat mają postać Li = -k�i (i = 1, 2), wtedyoczekiwane ryzyko osiąga minimum dla decyzji: wybrać odmianę 1, gdy X1� -X2� > c"2lub odmianę 2, gdy X1� - X2� [ Pobierz całość w formacie PDF ]

do ÂściÂągnięcia - pdf - ebook - pobieranie - download

Archiwum