[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.��ALzG 12 Bazy przestrzeni wektorowych12.1.Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni L(u1,.uk) przestrzeni !4, gdya) u1 = [5, 2, -3, 1], u2 = [4, 1, -2, 3], u3 = [1, 1, -1, 2], u4 = [3, 4, -1, 2].b) u1 = [1, 2, 3, -4], u2 = [2, 3, -4, 1], u3 = [2, -5, 8, -3], u4 = [5, 26, -9, -12], u5 = [3, -4, 1, 2].12.2.Podany układ wektorów rozszerzyć do bazy całej przestrzeni a) {[1, 1, 1, 1]T , [1, 2, 1, 2]T },b) {[1, 1, 2, 1, 1]T , [1, 2, 3, 1, 1]T , [1, 2, 4, 2, 1]T }(L) 12.3.Znalez
ć bazy i wymiary przestrzeni rozwiązań układów równań liniowych w !n.a) 9x + 12y + 2z = 0, 5x + 6y + 4z = 0, 2x + 3y - z = 0,b) 7x + 3y + 5z + 2t + 8u = 0, 3x + y + z - 4t + 6u = 0, 2x + y + 2z + 3t + u = 0.12.4.Znalez
ć bazę przestrzeni wielomianów co najwyżej 2-go stopnia spełniających waruneka) w(1) = w(2),b) w(1) = w(-1),c) w(1) = w(0) = w(-1).Rozszerzyć znalezioną bazę do bazy przestrzeni wszystkich wielomianów co najwyżej 3-go stopnia.12.5.Niech W1, W2 będą następującymi podprzestrzeniami w !5.W1 = L((10, 3, 9 + s, 1, 2 - s), (4, 1, 6, 1, 1), (2, 1, -1, -1, -2)),W2 jest przestrzenią rozwiązań układu równań:3x1 - 11x2 + tx3 - 8x4 + x5 = 0, 2x1 - 4x2 - x3 + 3x4 - x5 = 0, x1 - 5x2 + x3 - 6x4 + x5 = 0.Znalez
ć dimW1 oraz dimW2 w zależności od s, t " !.Znalez
ć wszystkie takie s, t dla których W1 = W2.�� ��a b12.6.Znalez
ć bazę podprzestrzeni a){�� �� : a, b " !}.b) macierzy 2 � 2 trójkątnych górnych c)b amacierzy 3 � 3 diagonalnych.Znalezioną bazę rozszerzyć do bazy całej przestrzeni.12.7.Niech V �" !5 będzie przestrzenią rozwiązań układu równań x1 + x2 + x3 = 0, x2 + x3 + x4 = 0, aU �" !5 przestrzenią rozwiązań układu x1 + x3 + x5 = 0, x1 + x2 + x4 = 0.Znalez
ć bazy V , U,V )" U.(Wskazówka: zadanie jest prostsze niż się wydaje).12.8.Dane są dwa układy wektorów U = {u1, u2, u3} oraz W = {w1, w2, w3}.Wektory u1, u2, u3, w1, w2, w3zestawiono w macierze i doprowadzono do postaci wierszowo zredukowanej.Na jej podstawie wyznaczyćbazę L(U), L(W), L(U) )" L(W).�� ���� �� �� ��1 0 0 0 1 2�� ��1 0 3 0 1 1 1 0 0 1 1 0�� ���� �� �� ���� 0 1 0 0 1 1 ���� ����a)�� �� b)�� �� c)���� ��0 1 2 0 1 2 0 1 0 0 1 1�� ���� �� �� ���� ��0 0 1 0 0 2�� ��0 0 0 1 2 3 0 0 1 1 0 10 0 0 1 2 3�� ���� �� �� ��1 0 0 0 0 2�� ��1 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 1�� ���� �� �� ���� 0 1 0 0 0 1 ���� �� �� ���� ���� 0 1 0 0 2 4 �� �� 0 0 1 0 0 2 ������ ��d)�� e)�� f)�� ����0 0 1 0 0 0�� �� �� ���� ���� �� �� ��0 0 1 0 3 6 0 0 0 1 0 0�� ���� �� �� ���� ��0 0 0 1 0 3�� ��0 0 0 1 4 8 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1(L) 12.9.Niech B będzie bazą przestrzeni V nad !, U = L(U), W = L(W).1) W układzie U *" W znalez
ć bazę podprzestrzeni L(U *" W)2) Znalez
ć układy A0, A1, A2 takie, że A0 jest bazą U )" W , A0|A1 bazą U, A0|A2 bazą W ,3) Rozszerzyć bazę A0, A1, A2 do bazy całej przestrzeni.�� �� �� �� �� �� �� ��2 2 2 1 4 2 1 -1 2 1�� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� ���� 1 2 2 �� �� 1 4 3 �� �� 2 1 �� �� -1 -1 ���� �� �� �� �� �� �� ��a) MB(U) = , MB(W) = , b) MB(U) = , MB(W) = ,�� �� �� �� �� �� �� ���� -2 1 2 2 -5 1 1 0 3�� �� �� �� �� �� ��2�� �� �� �� �� �� �� ��1 1 1 1 3 1 0 1 -1 7�� �� �� �� �� �� �� ��1 3 -1 2 -1 1 1 0 0�� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� ���� 2 1 0 �� �� 5 2 �� �� �� �� ��1 0 0 1�� �� �� �� �� �� �� ��c) MB(U) = , MB(W) = , d) MB(U) = , MB(W) = ,�� �� �� �� �� �� �� ���� -1 1 1 0 1 1 1�� �� -6 -7�� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� ��-2 1 -1 -5 -3 0 1 1 0�� �� �� ���� �� �� ��1 1 2 -1 1�� �� �� ��1 1 1 1 1 1�� �� �� ���� �� �� ���� 1 -1 1 �� �� 2 0 ���� �� �� ���� �� �� ���� 1 1 0 �� �� -1 -1 ��1�� �� �� ���� �� �� ��e) MB(U) = �� ��, MB(W) = �� ��, f) MB(U) = , MB(W) = ,1 1 -1 1 4�� �� �� ���� �� �� ���� �� �� -1 1 -1��1 0 1�� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ��1 -1 1 1 0�� �� �� ��0 1 1 -1 -1 11 1 2 0 1g) U = {(x1, x2, 2x1) : x1, x2 " !}, W = {(x, x, x) : x " !},h) U = {(x1, x2, 2x1) : x1, x2 " !}, W = {(x1, 0, x3) : x1, x3 " !},i) U = {(x1, x2, x1 - x2) : x1, x2 " !}, W = {(x1, 2x1, -x1) : x1 " !}.12.10 Ze zbioru {1, 2, 3,., 20} wybrano liczby n1,., n9.Pokazać, ze istnieją liczby cakowite a1,., a91 9nie wszystkie równe zero takie, że na.na = 1.1 912.11 Znależć bazę i wymiar przestrzeni ciągów (xn) spełniajacych warunek xi+1 = xi-1 + xi dla i > 2.Czy istnieje baza tej przestrzeni złożona z ciągów geometrycznych? Jeśli tak to jaka? Znależć wspórzędneciągu Fibonaciego w znalezionych bazach [ Pobierz całość w formacie PDF ]