[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Dla badania takich globalnych zagadnieńwprowadza się wiele zaawansowanych rozdziałów współczesnej geometrii, jednakże rozwijana przez matematykówtechnika nie jest szerzej znana fizykom. 2.Potencjały cechowania i pola.Na początku podamy pewne wiadomości z klasycznej teorii pola tak jak rozumieją je fizycy, a następnie podamy ichgeometryczną interpretacje.Rozpoczniemy od tego, że ustalimy pewną zwartą grupę Liego G.Zazwyczaj jest to SU(2) lubSU(3), nie wykluczamy również grupy U(1).Rozpatrzmy algebrę Liego L(G) grupy G.Dla SU(2) składa się ona z skośniehermitowskich n �n macierzy o zerowym śladzie.Potencjał cechowania jest to zbiór funkcji A�(x) o wartościach wL(G), gdzie x = ( x1 ,., x4 ) jest punktem w przestrzeni Euklidesa lub Minkowskiego,� = 1,., 4 indeks przestrzenny.Wraz z tym potencjałem rozpatrzmy operator :"� = "� + A�gdzie "� = "/"x�Operator ten działa na funkcje wektorową ( f1(x) ,.fm(x)), jeśli zadano pewną m-wymiarową reprezentacje grupy G.Przykładowo, dla G = SU(2) można wziąć m = n i wykorzystać reprezentacje standardowąObliczając komutator operatorów "� i "� otrzymujemy pole cechowania F�� zadane przez zależność :F�� = [ "� , "� ] = "� A� - "� A� + [ A� , A� ]Gdzie [ "� , "� ] jest komutatorem w algebrze Liego grupy G.Ważne jest zauważyć, ze dla nieabelowej grupy G taki komutator nie jest równy zero i dlatego funkcja F jest nieliniowapo A.W przypadku G = U(1), składowa taka nie występuje i otrzymujemy standardowy liniowy związek między polem ipotencjałem wektorowym, charakterystyczny dla teorii Maxwella.Standardowa niejednoznaczność potencjału znajduje swój wyraz w przypadku ogólnym w postaci przekształceńcechowania.Zgodnie z definicją przekształcenie cechowania jest to funkcja g(x), przyjmująca wartości w grupie G iprzekształcająca potencjał A� zgodnie ze wzorem :A� �! g-1 A� g + g-1 "� gCo odpowiada przejściu od "� do g-1"�g ( rozpatrujemy tutaj G jako grupę macierzy, tak, że "�g jest macierzą złożonaz pochodnych ).Pole cechowania F�� przekształca się wtedy następująco :F�� �! g-1 F�� gWażna obserwacja polega na tym, że wielkości A� przekształcają się niejednorodnie, podczas gdy wielkości F��przekształcają się jednorodnie.Innymi słowy F�� - jest obiektem typu tensorowego, a A� - obiektem typu afinicznego( nie wyróżniającym zera )Geometrycznie lub mechanicznie możemy to interpretować następująco.Wyobrazmy sobie cząstkę o pewnej strukturze tj.cząstkę znajdującą się w punkcie x przestrzeni R4 posiadającą strukturę wewnętrzną lub pewien zbiór stanów numerowanyprzez elementy g grupy G.Rozpatrzmy teraz pełną przestrzeń P wszystkich stanów takiej cząstki.Mówiąc ogólnie, wyobrażamy sobie przestrzeniewewnętrzne Gx i Gy dla x `" y, jako nie tożsame i dlatego przestrzeń P przybiera obraz włókien.Jednakże w przypadku niewystępowania jakiegoś pola zewnętrznego przyjmujemy, że wszytskie przestrzenieGx można utożsamić między sobą, tak że w dopełnieniu do linii pionowych lub włókien, możemy narysować jeszcze liniehoryzontalne ( nazywane przekrojami ), otrzymując standardowa siatkę kartezjańską : Teraz wyobrazmy sobie, że nałożono pewne pole zewnętrzne, którego działanie narusza wzajemne ułożenie włókien, tak żestaje się nie możliwe poprzednie utożsamienie przestrzeni Gx w różnych punktach.Jednakże zakładamy, przy tym ,żeprzestrzenie Gx i Gy cały czas możemy utożsamić, jeśli wybierzemy pewną określona drogę w R z punktu x do punktu y.W języku bardziej fizycznym, wyobrażamy sobie, że cząstka porusza się z punktu x do punktu y i przemieszczamy jejprzestrzeń wewnętrzną razem z nią.W przestrzeni Minkowskiego taki ruch następowałby wzdłuż linii świata cząstki.Takieutożsamienie włókien wzdłuż dróg nazywa się przeniesieniem równoległym .Jeśli teraz mamy dwie różne drogi, łączącepunkty x i y, to nie ma żadnych podstaw przyjmować, że odpowiadające im przeniesienia równoległe pokrywają się.Zakładamy, że różnią się one o pewien czynnik należący do grupy czynnik ten należy rozpatrywać jako uogólnione przesunięcie fazy .Takie przesuniecie interpretowane jest jako wynik działania pola zewnętrznego.W językugeometrycznym rozpatrujemy go jako krzywiznę lub zakrzywienie rozwłóknienia nad obszarem, ograniczonym takimidwiema drogami.Przechodząc do nieskończenie małych w stylu newtonowskim, otrzymamy infinitezymalne przeniesienie równoległe wpunkcie x w danym kierunku.Takie infinitezymalne przesunięcie A włókna Gx w włókno sąsiednie nazywa się koneksją.Infinitezymalna krzywizna F zależy od pary kierunków w punkcie x i przyjmuje wartości w algebrze Liego grupy Gx tj.jest infinitezymalnym przesunięciem fazy .Tak jak zwykle infinitezymalny obraz tj.koneksje, można scałkować,otrzymując obraz globalny przeniesienia równoległego wzdłuż krzywych takie dwa punkty widzenia są matematycznierównoważne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]